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CLP-2 Integral Calculus

Appendix E Hints for Exercises

1 Integration
1.1 Definition of the Integral
1.1.8 Exercises

1.1.8.12. (✳).

1.1.8.15. (✳).

1.1.8.18. (✳).

1.1.8.20. (✳).

1.1.8.21. (✳).

1.1.8.22. (✳).

1.1.8.23. (✳).

1.1.8.24. (✳).

1.1.8.25. (✳).

1.1.8.28. (✳).

1.1.8.33. (✳).

1.1.8.34. (✳).

1.1.8.37. (✳).

1.1.8.38. (✳).

1.1.8.39. (✳).

1.1.8.40. (✳).

1.1.8.41. (✳).

1.2 Basic properties of the definite integral
1.2.3 Exercises

1.2.3.5. (✳).

1.2.3.6. (✳).

1.2.3.7. (✳).

1.2.3.9. (✳).

1.2.3.12. (✳).

1.2.3.13. (✳).

1.2.3.14. (✳).

1.3 The Fundamental Theorem of Calculus
1.3.2 Exercises

1.3.2.2. (✳).

1.3.2.3. (✳).

1.3.2.20. (✳).

1.3.2.21. (✳).

1.3.2.28. (✳).

1.3.2.29. (✳).

1.3.2.30. (✳).

1.3.2.31. (✳).

1.3.2.32. (✳).

1.3.2.33. (✳).

1.3.2.34. (✳).

1.3.2.35. (✳).

1.3.2.36. (✳).

1.3.2.37. (✳).

1.3.2.38. (✳).

1.3.2.39. (✳).

1.3.2.40. (✳).

1.3.2.41. (✳).

1.3.2.42. (✳).

1.3.2.43. (✳).

1.3.2.44. (✳).

1.3.2.45. (✳).

1.3.2.46. (✳).

1.3.2.47. (✳).

1.3.2.49. (✳).

1.4 Substitution
1.4.2 Exercises

1.4.2.7. (✳).

1.4.2.8. (✳).

1.4.2.9. (✳).

1.4.2.10. (✳).

1.4.2.11. (✳).

1.4.2.12. (✳).

1.4.2.13. (✳).

1.4.2.14. (✳).

1.4.2.16. (✳).

1.4.2.17. (✳).

1.4.2.23. (✳).

1.4.2.24. (✳).

1.5 Area between curves
1.5.2 Exercises

1.5.2.3. (✳).

1.5.2.4. (✳).

1.5.2.5. (✳).

1.5.2.6. (✳).

1.5.2.7. (✳).

1.5.2.8. (✳).

1.5.2.9. (✳).

1.5.2.10. (✳).

1.5.2.11. (✳).

1.5.2.12. (✳).

1.5.2.14. (✳).

1.5.2.15. (✳).

1.5.2.16. (✳).

1.6 Volumes
1.6.2 Exercises

1.6.2.4. (✳).

1.6.2.5. (✳).

1.6.2.6. (✳).

1.6.2.8. (✳).

1.6.2.9. (✳).

1.6.2.10. (✳).

1.6.2.11. (✳).

1.6.2.12. (✳).

1.6.2.13. (✳).

1.6.2.14. (✳).

1.6.2.15. (✳).

1.6.2.16. (✳).

1.6.2.18. (✳).

1.6.2.19. (✳).

1.6.2.20. (✳).

1.6.2.21. (✳).

1.7 Integration by parts
1.7.2 Exercises

1.7.2.6. (✳).

1.7.2.7. (✳).

1.7.2.8. (✳).

1.7.2.9. (✳).

1.7.2.17. (✳).

1.7.2.18. (✳).

1.7.2.25. (✳).

1.7.2.26. (✳).

1.7.2.27. (✳).

1.7.2.28. (✳).

1.8 Trigonometric Integrals
1.8.4 Exercises

1.8.4.4. (✳).

1.8.4.5. (✳).

1.8.4.6. (✳).

1.8.4.12. (✳).

1.8.4.13. (✳).

1.8.4.23. (✳).

1.9 Trigonometric Substitution
1.9.2 Exercises

1.9.2.1. (✳).

1.9.2.5. (✳).

1.9.2.6. (✳).

1.9.2.7. (✳).

1.9.2.8. (✳).

1.9.2.10. (✳).

1.9.2.11. (✳).

1.9.2.12. (✳).

1.9.2.14. (✳).

1.9.2.15. (✳).

1.9.2.17. (✳).

1.10 Partial Fractions
1.10.4 Exercises

1.10.4.2. (✳).

1.10.4.3. (✳).

1.10.4.7. (✳).

1.10.4.8. (✳).

1.10.4.9. (✳).

1.10.4.10. (✳).

1.10.4.11. (✳).

1.10.4.12. (✳).

1.10.4.27. (✳).

1.11 Numerical Integration
1.11.6 Exercises

1.11.6.9. (✳).

1.11.6.12. (✳).

1.11.6.13. (✳).

1.11.6.14. (✳).

1.11.6.15. (✳).

1.11.6.18. (✳).

1.11.6.19. (✳).

1.11.6.20. (✳).

1.11.6.21. (✳).

1.11.6.22. (✳).

1.11.6.23. (✳).

1.11.6.24. (✳).

1.11.6.25. (✳).

1.11.6.26. (✳).

1.11.6.27. (✳).

1.11.6.28. (✳).

1.11.6.29. (✳).

1.11.6.30. (✳).

1.12 Improper Integrals
1.12.4 Exercises

1.12.4.4. (✳).

1.12.4.6. (✳).

1.12.4.7. (✳).

1.12.4.8. (✳).

1.12.4.9. (✳).

1.12.4.14. (✳).

1.12.4.15. (✳).

1.12.4.16. (✳).

1.12.4.18. (✳).

1.12.4.23. (✳).

1.12.4.25. (✳).

1.13 More Integration Examples

Exercises

1.13.10. (✳).
1.13.11. (✳).
1.13.13. (✳).
1.13.14. (✳).
1.13.15. (✳).
1.13.16. (✳).
1.13.17. (✳).
1.13.18. (✳).
1.13.20. (✳).
1.13.21. (✳).
1.13.33. (✳).
1.13.34. (✳).

2 Applications of Integration
2.1 Work
2.1.2 Exercises

2.1.2.7. (✳).

2.1.2.9. (✳).

2.1.2.10. (✳).

2.1.2.11. (✳).

2.1.2.13. (✳).

2.1.2.21. (✳).

2.2 Averages
2.2.2 Exercises

2.2.2.7. (✳).

2.2.2.8. (✳).

2.2.2.9. (✳).

2.2.2.10. (✳).

2.2.2.11. (✳).

2.2.2.12. (✳).

2.2.2.13. (✳).

2.2.2.19. (✳).

2.3 Centre of Mass and Torque
2.3.3 Exercises

2.3.3.11. (✳).

2.3.3.14. (✳).

2.3.3.15. (✳).

2.3.3.16. (✳).

2.3.3.17. (✳).

2.3.3.18. (✳).

2.3.3.19. (✳).

2.3.3.20. (✳).

2.3.3.21. (✳).

2.3.3.24. (✳).

2.3.3.25. (✳).

2.3.3.26. (✳).

2.4 Separable Differential Equations
2.4.7 Exercises

2.4.7.10. (✳).

2.4.7.11. (✳).

2.4.7.12. (✳).

2.4.7.13. (✳).

2.4.7.14. (✳).

2.4.7.15. (✳).

2.4.7.16. (✳).

2.4.7.17. (✳).

2.4.7.18. (✳).

2.4.7.19. (✳).

2.4.7.20. (✳).

2.4.7.21. (✳).

2.4.7.22. (✳).

2.4.7.23. (✳).

2.4.7.24. (✳).

2.4.7.25. (✳).

2.4.7.26. (✳).

2.4.7.27. (✳).

2.4.7.28. (✳).

2.4.7.29. (✳).

2.4.7.30. (✳).

2.4.7.31. (✳).

2.4.7.32. (✳).

2.4.7.33. (✳).

2.4.7.34. (✳).

2.4.7.35. (✳).

3 Sequence and series
3.1 Sequences
3.1.2 Exercises

3.1.2.18. (✳).

3.1.2.19. (✳).

3.1.2.20. (✳).

3.1.2.21. (✳).

3.2 Series
3.2.2 Exercises

3.2.2.15. (✳).

3.2.2.16. (✳).

3.2.2.17. (✳).

3.2.2.18. (✳).

3.2.2.19. (✳).

3.2.2.20. (✳).

3.2.2.21. (✳).

3.2.2.22. (✳).

3.2.2.23. (✳).

3.2.2.24. (✳).

3.2.2.25. (✳).

3.2.2.26. (✳).

3.3 Convergence Tests
3.3.11 Exercises

3.3.11.14. (✳).

3.3.11.15. (✳).

3.3.11.16. (✳).

3.3.11.17. (✳).

3.3.11.18. (✳).

3.3.11.28. (✳).

3.3.11.29. (✳).

3.3.11.30. (✳).

3.3.11.31. (✳).

3.3.11.32. (✳).

3.3.11.33. (✳).

3.3.11.34. (✳).

3.3.11.35. (✳).

3.3.11.36. (✳).

3.3.11.38. (✳).

3.3.11.39. (✳).

3.3.11.41. (✳).

3.3.11.42. (✳).

3.3.11.43. (✳).

3.3.11.44. (✳).

3.3.11.46. (✳).

3.3.11.47. (✳).

3.3.11.48. (✳).

3.3.11.49. (✳).

3.3.11.50. (✳).

3.3.11.51. (✳).

3.4 Absolute and Conditional Convergence
3.4.3 Exercises

3.4.3.1. (✳).

3.4.3.4. (✳).

3.4.3.5. (✳).

3.4.3.6. (✳).

3.4.3.7. (✳).

3.4.3.8. (✳).

3.4.3.9. (✳).

3.4.3.13. (✳).

3.5 Power Series
3.5.3 Exercises

3.5.3.5. (✳).

3.5.3.6. (✳).

3.5.3.7. (✳).

3.5.3.8. (✳).

3.5.3.9. (✳).

3.5.3.15. (✳).

3.5.3.16. (✳).

3.5.3.18. (✳).

3.5.3.19. (✳).

3.5.3.20. (✳).

3.5.3.21. (✳).

3.5.3.22. (✳).

3.6 Taylor Series
3.6.8 Exercises

3.6.8.9. (✳).

3.6.8.10. (✳).

3.6.8.11. (✳).

3.6.8.12. (✳).

3.6.8.13. (✳).

3.6.8.14. (✳).

3.6.8.15. (✳).

3.6.8.16. (✳).

3.6.8.17. (✳).

3.6.8.18. (✳).

3.6.8.19. (✳).

3.6.8.20. (✳).

3.6.8.21. (✳).

3.6.8.22. (✳).

3.6.8.25. (✳).

3.6.8.32. (✳).

3.6.8.33. (✳).

3.6.8.39. (✳).

3.6.8.40. (✳).

3.6.8.41. (✳).

3.6.8.42. (✳).

3.6.8.43. (✳).

3.6.8.44. (✳).

3.6.8.45. (✳).

3.6.8.46. (✳).

3.6.8.48. (✳).

3.6.8.49. (✳).